Révision · Maths

Cheikh
Radicaux et valeurs absolues

Essaie d'abord seul. Si tu bloques, ouvre l'indice. Regarde la correction seulement après avoir essayé.
Questions comprises : 0 / 20

Exercice 1 · QCM1 point par réponse

1Pour tout réel x négatif et tout réel y positif : √yx2 = ?
Rappel : √x2 = x, et si x < 0 alors x = -x.
  1. √yx2 = √y × √x2 = √y × x
  2. Comme x < 0 : x = -x.
Réponse : √yx2 = -x √y
2√14 - 6√5 est égale à ?
Cherche un carré : (a - b)2 = a2 - 2ab + b2. Essaie (3 - √5)2.
  1. (3 - √5)2 = 9 - 6√5 + 5 = 14 - 6√5
  2. Donc √14 - 6√5 = 3 - √5
  3. Or √5 ≈ 2,24 < 3, donc 3 - √5 > 0.
Réponse : 3 - √5 (attention : √5 - 3 est négatif, donc faux)
3Distance d(-2√3 ; -√5) = ? (sur la photo, lire les nombres avec soin)
La distance entre a et b est a - b.
  1. d = -2√3 - (-√5) = -2√3 + √5
  2. 2√3 ≈ 3,46 et √5 ≈ 2,24, donc -2√3 + √5 < 0.
  3. Une valeur absolue d'un nombre négatif = son opposé.
Réponse : 2√3 - √5
4f(x) = 2x - 1 + 2 - x. Si x ∈ ]-∞ ; 12], alors ?
Sur cet intervalle, cherche le signe de 2x - 1 et de 2 - x.
  1. x ≤ 12 donc 2x - 1 ≤ 0 : 2x - 1 = 1 - 2x
  2. x ≤ 12 < 2 donc 2 - x > 0 : 2 - x = 2 - x
  3. f(x) = 1 - 2x + 2 - x = 3 - 3x
Réponse : f(x) = -3x + 3 (réponse A)
5A = √4(1 - √3)2 - √3(√3 - 2)2, alors ?
√k × u2 = √k × u. Puis trouve le signe de 1 - √3 et de √3 - 2.
  1. √4(1 - √3)2 = 21 - √3 = 2(√3 - 1) car √3 > 1
  2. √3(√3 - 2)2 = √3 √3 - 2 = √3(2 - √3) = 2√3 - 3
  3. A = 2√3 - 2 - 2√3 + 3 = 1
Réponse : A = 1 (réponse A)

Exercice 26 points

1Écrire de manière simple : A = 82 × (-50)3 × 15-425-1 × 27
Décompose tout en puissances de 2, 3 et 5 : 8 = 23, 50 = 2 × 52, 15 = 3 × 5, 25 = 52, 27 = 33.
  1. 82 = 26 ; (-50)3 = -23 × 56 ; 15-4 = 3-4 × 5-4
  2. Numérateur : -29 × 3-4 × 52
  3. Dénominateur : 5-2 × 33
  4. A = -29 × 3-7 × 54 = -512 × 6252187
Réponse : A = -3200002187
2aÉcris sous la forme a + b√c : (1 + √3)2 et (2 - √5)2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 et (a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
  1. (1 + √3)2 = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3
  2. (2 - √5)2 = 4 - 4√5 + 5 = 9 - 4√5
Réponse : 4 + 2√3 et 9 - 4√5
2bEn déduire X = 2√4 + 2√3 - √12 et Y = √9 - 4√5 (vérifie l'énoncé : sur la photo, le dernier radical est peu lisible)
Utilise 2a : 4 + 2√3 = (1 + √3)2 et 9 - 4√5 = (2 - √5)2. Et √12 = 2√3.
  1. √4 + 2√3 = 1 + √3 = 1 + √3
  2. X = 2(1 + √3) - 2√3 = 2
  3. Y = 2 - √5 = √5 - 2 car √5 > 2
Réponse : X = 2 et Y = √5 - 2
3aZ = √5 - 2√6 - √5 + 2√6. Étudier le signe de Z.
Compare les deux nombres sous les radicaux.
  1. 5 - 2√6 < 5 + 2√6
  2. La racine carrée garde l'ordre, donc √5 - 2√6 < √5 + 2√6
Réponse : Z < 0
3bCalculer Z2, puis en déduire une écriture simple de Z.
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2, et (5 - 2√6)(5 + 2√6) = 25 - 24.
  1. Z2 = (5 - 2√6) + (5 + 2√6) - 2√(5 - 2√6)(5 + 2√6)
  2. = 10 - 2√25 - 24 = 10 - 2 = 8
  3. Z < 0 et Z2 = 8, donc Z = -√8 = -2√2
Réponse : Z2 = 8 et Z = -2√2

Exercice 36 points

1aRésoudre dans ℝ : 2x - 1 = 2√2 - 3
Une valeur absolue n'est jamais négative. Quel est le signe de 2√2 - 3 ?
  1. 2√2 ≈ 2,83 < 3, donc 2√2 - 3 < 0
  2. Une valeur absolue ne peut pas être égale à un nombre négatif.
Réponse : S = ∅
1bRésoudre dans ℝ : -4x + 1 = -x - 2
Il faut d'abord -x - 2 ≥ 0, c'est-à-dire x ≤ -2.
  1. Condition : x ≤ -2
  2. Pour x ≤ -2 : -4x + 1 > 0, donc l'équation devient -4x + 1 = -x - 2
  3. -3x = -3, donc x = 1
  4. Mais 1 ne vérifie pas x ≤ -2.
Réponse : S = ∅
1c√4 - 4x … : l'énoncé est coupé sur la photo.
Envoie une photo complète de cette ligne et la correction sera ajoutée.
Réponse : À compléter
2aRésoudre dans ℝ : x - 2 ≤ 3
x - a ≤ r veut dire a - r ≤ x ≤ a + r (les points à distance au plus r de a).
  1. -3 ≤ x - 2 ≤ 3
  2. -1 ≤ x ≤ 5
Réponse : S = [-1 ; 5]
2bRésoudre dans ℝ : 2 + 3 - x < √3
Isole la valeur absolue.
  1. 3 - x < √3 - 2
  2. √3 ≈ 1,73 donc √3 - 2 < 0
  3. Une valeur absolue ne peut pas être plus petite qu'un nombre négatif.
Réponse : S = ∅
2cd(√3 ; …) : l'énoncé est coupé sur la photo.
Envoie une photo complète de cette ligne et la correction sera ajoutée.
Réponse : À compléter

Exercice 43 points

1a et b réels non nuls. Démontrer que ab + ba - 2 = (a - b)2ab.
Mets tout au même dénominateur ab.
  1. ab + ba - 2 = a2ab + b2ab - 2abab
  2. = a2 - 2ab + b2ab = (a - b)2ab
Réponse : C'est démontré.
2En déduire que si a et b sont de même signe : ab + ba ≥ 2.
Même signe veut dire ab > 0. Et un carré est toujours ≥ 0.
  1. (a - b)2 ≥ 0 et ab > 0, donc (a - b)2ab ≥ 0
  2. Donc ab + ba - 2 ≥ 0
Réponse : ab + ba ≥ 2
3Développer : (a + b)(ab + ba)
Distribue chaque terme de la première parenthèse.
  1. a × ab = a2b ; a × ba = b
  2. b × ab = a ; b × ba = b2a
Réponse : a2b + b2a + a + b
4En déduire que si a et b sont de même signe : (a + b)(1b + 1a) ≥ 4.
Développe : tu vas retrouver ab + ba, puis utilise la question 2.
  1. (a + b)(1b + 1a) = ab + 1 + 1 + ba = 2 + ab + ba
  2. D'après 2 : ab + ba ≥ 2
  3. Donc 2 + ab + ba ≥ 4
Réponse : (a + b)(1b + 1a) ≥ 4

Bon courage Cheikh ! 💪 Refais les exercices sans regarder la correction le lendemain.